Question

9．已知$|{\begin{array}{l}{sinα}&{cosα}\\ 2&1\end{array}}|=0$，則sin2α=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由二階行列式展開式得sinα-2cosα=0，由此利用同角三角函數(shù)關(guān)系式得到cosα=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，再由正弦函數(shù)二倍角公式能求出sin2α．

解答 解：∵$|{\begin{array}{l}{sinα}&{cosα}\\ 2&1\end{array}}|=0$，
∴sinα-2cosα=0，
∴sin²α+cos²α=5cos²α=1，
解得cosα=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，
當(dāng)cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$時(shí)，sinα=2cosα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴sin2α=2sinαcosα=2×（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）×（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）=$\frac{4}{5}$，
當(dāng)cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$時(shí)，sinα=2cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$，
故sin2α=$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二階行列式展開式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式的合理運(yùn)用．