Question

2．已知函數(shù)f（x）=2x+$\frac{x}$+c，其中b，c為常數(shù)且滿足f（1）=4，f（2）=5．
（1）求b，c的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，并判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若存在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$，使得$\frac{1}{2}f（x）+4m＜\frac{1}{2}f（-x）+{m^2}+4$成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=4，f（2）=5，列一方程組$\left\{\begin{array}{l}{2+b+c=4}\\{4+\frac{2}+c=5}\end{array}\right.$，即解得b、c的值；
（2）利用增函數(shù)及減函數(shù)的定義即可證明、判斷單調(diào)性；
（3）根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)f（x）的解析式，將$\frac{1}{2}f（x）+4m＜\frac{1}{2}f（-x）+{m^2}+4$變形可得2x+$\frac{2}{x}$＜m²-4m+4，即f（x）＜m²-4m+4，結(jié)合f（x）的單調(diào)性分析可得f（x）有最小值f（1）=4，進而分析可得若存在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$，使得$\frac{1}{2}f（x）+4m＜\frac{1}{2}f（-x）+{m^2}+4$即f（x）＜m²-4m+4成立，則有m²-4m+4＞4，解可得m的取值范圍，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=2x+$\frac{x}$+c中，有f（1）=4，f（2）=5，
則有$\left\{\begin{array}{l}{2+b+c=4}\\{4+\frac{2}+c=5}\end{array}\right.$，解可得b=2，c=0，
則f（x）=2x+$\frac{2}{x}$，
（2）證明：根據(jù)題意，由（1）可得：f（x）=2x+$\frac{2}{x}$，
設0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=（2x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（2x₂+$\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
又由0＜x₁＜x₂＜1，則x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0，
必有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
即函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)；
當1＜x₁＜x₂時，x₁-x₂＜0，由①式得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）根據(jù)題意，若$\frac{1}{2}f（x）+4m＜\frac{1}{2}f（-x）+{m^2}+4$，則有$\frac{1}{2}$[f（x）-f（-x）]＜m²-4m+4，
又由f（x）=2x+$\frac{2}{x}$，則f（-x）=-（2x+$\frac{2}{x}$），
$\frac{1}{2}$[f（x）-f（-x）]＜m²-4m+4?2x+$\frac{2}{x}$＜m²-4m+4，即f（x）＜m²-4m+4，
又由（2）可得，f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，（1，+∞）上是增函數(shù)，
則f（x）有最小值f（1）=4，
若存在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$，使得$\frac{1}{2}f（x）+4m＜\frac{1}{2}f（-x）+{m^2}+4$即f（x）＜m²-4m+4成立，
則有m²-4m+4＞4，
解可得m＜0或m＞4，
故m的取值范圍為：（-∞，0）∪（4，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性判定及其應用，定義法是證明函數(shù)單調(diào)性的常用方法，其步驟可分為：①取值；②作差；③變形；④判號；⑤結(jié)論．