Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)M（0，1），與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B，
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時(shí)，求k的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵焦距為4，
∴ c=2，       
又∵的離心率為，    
∴，
∴a=，b=2，      
∴標(biāo)準(zhǔn)方程為。    
（2）設(shè)直線l方程：y=kx+1，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得，      
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，
由（1）知右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，0），
∵右焦點(diǎn)F在圓內(nèi)部，
∴＜0，   
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0，                 ∴，  
∴k＜，
經(jīng)檢驗(yàn)得k＜時(shí)，直線l與橢圓相交，
∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，）。