Question

已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－mx.

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)求證：．

Answer 1

解　(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝－m(x>－1)．

當(dāng)m≤0時(shí)，f′(x)>0恒成立，則f(x)為

(－1，＋∞)上的增函數(shù)，所以f(x)沒有極值．

當(dāng)m>0時(shí)，由f′(x)>0，得－1<x<－1；

由f′(x)<0，得x>－1.

所以f(x)在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減．

故當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)有極大值，但無極小值．

(2)證明：取m＝1，由(1)知f(x)＝ln(1＋x)－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)<f(0)＝0.

即ln(1＋x)<x(x>0)．

令x＝(k>0)，得ln(1＋)<，即ln<，分別取k＝n＋1，n＋2，…，n＋(n＋1)，