Question

5．已知極坐標(biāo)系的極軸與直角坐標(biāo)系x軸的非負(fù)半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程是C：$\frac{4}{{ρ}^{2}}$=cos²θ+4sin²θ，直線l的參數(shù)方程是l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}-2016t}\\{y=\sqrt{5}+2016t}\end{array}\right.$
（1）求曲線C的普通方程和參數(shù)方程；
（2）求直線l的普通方程和極坐標(biāo)方程．
（3）點(diǎn)M∈C，點(diǎn)N∈l，直線MN與直線l的夾角等于45°，求|MN|的最值．

Answer 1

分析 （1）曲線C中極坐標(biāo)方程，直接利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式進(jìn)行處理即可；
（2）首先，根據(jù)直線的參數(shù)方程，然后，消去參數(shù)，即可得到普通方程，然后，寫成極坐標(biāo)形式即可；
（3）可以設(shè)出曲線C上的一點(diǎn)，然后，計(jì)算該點(diǎn)到直線的距離，然后，借助于夾角緊急求解．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程是C：$\frac{4}{{ρ}^{2}}$=cos²θ+4sin²θ，
∴ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4，
∴x²+4y²=4，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴曲線C的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
它表示一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
其參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
（2）∵直線l的參數(shù)方程是l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}-2016t}\\{y=\sqrt{5}+2016t}\end{array}\right.$
∴x+y-2$\sqrt{5}$=0，
對應(yīng)的極坐標(biāo)方程為：
ρcosθ+ρsinθ-2$\sqrt{5}$=0，
∴$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{5}$，
∴ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{10}$．
（3）∵l：x+y-2$\sqrt{5}$=0，
∴其斜率為k=-1，
設(shè)點(diǎn)P（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)，則
點(diǎn)P到直線的距離為d=$\frac{|x+y-2\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$
=$\frac{|2cosθ+sinθ-2\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$
=$\frac{|\sqrt{5}cos（θ-α）-2\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$，
∴d_max=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，d_min=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵直線MN與直線l的夾角等于45°，
∴|MN|_max=$\frac{3\sqrt{10}}{2}×\sqrt{2}=3\sqrt{5}$，
|MN|_min=$\frac{\sqrt{10}}{2}×\sqrt{2}=\sqrt{5}$，

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化、曲線的直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程的互化，直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．