已知數(shù)列{a
n}的首項(xiàng)a
1＞0，
（Ⅰ）若
，請(qǐng)直接寫出a
2，a
3的值；
（Ⅱ）若
，求證：{
}是等比數(shù)列并求出{a
n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若a
n+1＞a
n對(duì)一切n∈N
+都成立，求a
1的取值范圍．
【答案】
分析：（Ⅰ）利用
，
，n取1，2，即可求得a
2，a
3的值；
（Ⅱ）
，兩邊取倒數(shù)，可得數(shù)列{
}是首項(xiàng)為
，公比為
的等比數(shù)列，由此可得{a
n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若a
n+1＞a
n對(duì)一切n∈N
+都成立，可得
，又a
1＞0，即可求a
1的取值范圍．
解答：（Ⅰ）解：∵
，
，∴
=
，
…（2分）
（Ⅱ）證明：由題意知a
n＞0，
，
∴
，
∵
=
…（4分）
所以數(shù)列{
}是首項(xiàng)為
，公比為
的等比數(shù)列…（5分）
∴
，
∴
…（7分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：
即
…（9分）
由a
1＞0，
知a
n＞0，故a
n+1＞a
n，得
…（11分）
即
得
，…（13分）
又a
1＞0，則0＜a
1＜1…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}的首項(xiàng)a
1=
，前n項(xiàng)和S
n=n
2a
n（n≥1）．
（1）求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b
1=0，b
n=
(n≥2)，T
n為數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和，求證：
Tn＜．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}的首項(xiàng)為a
1=2，前n項(xiàng)和為S
n，且對(duì)任意的n∈N
*，當(dāng)n≥2，時(shí)，a
n總是3S
n-4與
2-Sn-1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b
n=（n+1）a
n，T
n是數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和，n∈N
*，求T
n．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
（2013•江門一模）已知數(shù)列{a
n}的首項(xiàng)a
1=1，若?n∈N
*，a
n•a
n+1=-2，則a
n=
| | 1，n是正奇數(shù) | | -2，n是正偶數(shù) |
| |
| | 1，n是正奇數(shù) | | -2，n是正偶數(shù) |
| |
．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}的首項(xiàng)為a
1=3，通項(xiàng)a
n與前n項(xiàng)和s
n之間滿足2a
n=S
n•S
n-1（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列
{}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a
n}中的最大項(xiàng)．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}的首項(xiàng)
a1=，
an+1=，n∈N
+（Ⅰ）設(shè)
bn=-1證明：數(shù)列{b
n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{
}的前n項(xiàng)和S
n．
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