Question

5．已知點(diǎn)H（0，-2），橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線HF的斜率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
（I）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)A為橢圓E的右頂點(diǎn)，過B（1，0）作直線l與橢圓E相交于S，T兩點(diǎn)，直線AS，AT與直線x=3分別交于不同的兩點(diǎn)M，N，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用直線HF的斜率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求出c，利用離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，可得b，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）分類討論，直線與橢圓方程聯(lián)立，由S，A，M三點(diǎn)共線，可求|MN|的取值范圍．

解答 解：（I）由題意，F(xiàn)（c，0），
∵直線HF的斜率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴$\frac{2}{c}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴c=$\sqrt{3}$，
∵離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=2，b=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，S（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），T（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
由S，A，M三點(diǎn)共線，得M（3，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
同理N（3，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴|MN|=$\sqrt{3}$；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由題意可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），M（3，y_M），N（3，y_N）
由S，A，M三點(diǎn)共線，得y_M=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，y_N=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，
y=k（x-1）代入橢圓方程可得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{1+3{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
∴|MN|=|y_M-y_N|=$\frac{\sqrt{1+3{k}^{2}}}{|k|}$=$\sqrt{3+\frac{1}{{k}^{2}}}$＞$\sqrt{3}$，
綜上，|MN|≥$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬中檔題．