Question

6．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，若過點F且與斜率為正數(shù)的漸近線垂直的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 雙曲線的離心率與漸近線的斜率有關(guān)，只有b=a或b＞a時，直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，由此能求出雙曲線離心率的范圍．

解答 解：雙曲線的離心率與漸近線的斜率有關(guān)，
當(dāng)b＜a時，即該漸近線傾斜角小于45°時，交點在同一右支上，
當(dāng)a=b時，該漸近線傾斜角等于45°時，
該漸近線的垂線與另一條漸近線平行，與雙曲線的右支有且只有一個交點，雙曲線離心率e=$\sqrt{2}$
當(dāng)b＞a時，即該漸近線傾斜角大于45°時，與雙曲線左右支相交，
∴雙曲線離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$＞$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意雙曲線的漸近線的斜率的靈活運用．