Question

5．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點F到直線l：x-y+1=0上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設直線x-y+2=0與拋物線C相交于P，Q兩點，求|PQ|以及線段PQ中點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的標準方程，將焦點F（0，$\frac{1}{2}$p）代入直線l方程算出p=2，即可得到拋物線C的方程；
（2）將直線l方程與拋物線C消去y，得 $\frac{1}{4}$x²-x-1=0．由根與系數(shù)的關系和中點坐標公式，即可算出線段PQ中點M的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，$\frac{1}{2}$p）
∴0-$\frac{1}{2}$p+1=0，可得p=2，
因此拋物線C的方程是x²=4y；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y得$\frac{1}{4}$x²-x-1=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=4，可得中點M的橫坐標為$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2，
代入直線l方程，得縱坐標為y_M=x_M+1=3．
即線段PQ中點M的坐標（2，3）．

點評 本題給出直線與拋物線相交，求拋物線方程并求截得弦的中點坐標．著重考查了拋物線的標準方程和直線與圓錐曲線的關系等知識，屬于中檔題．