Question

設(shè)函數(shù)f(x)=log₃(x²-4mx+4m²+m+),其中m為實(shí)數(shù),記集合M={m|m＞1}.

(1)求證:當(dāng)m∈M時(shí),f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義;反之,如果f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義,則m∈M.

(2)當(dāng)m∈M時(shí),求f(x)的最小值.

Answer 1

剖析:(1)本質(zhì)上是一個(gè)充要條件問題,需從兩方面給予證明;(2)是區(qū)間上的最值問題,要注意變量的取值范圍.

(1)證明:令g(x)=x²-4mx+4m²+m+,

    即g(x)=(x-2m)²+m+.

    若m∈M,則m＞1,g(x)≥m+＞0.

    所以f(x)=log₃g(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義.

    反之,若f(x)對所有實(shí)數(shù)x有意義,即對所有實(shí)數(shù)x,都有g(shù)(x)＞0.

    特別地,g(2m)＞0,

    所以m+＞0＞0.

    注意到m²-m+1=(m-)²+＞0,

    所以m-1＞0,即m＞1.

    所以m∈M.

(2)解:當(dāng)m∈M時(shí),m＞1,g(x)≥m+

    f(x)=log₂g(x)≥log₃(m+),

    當(dāng)x=2m時(shí),

    f(x)_min=log₃(m+).

講評:正確理解(1)的題意是正確解題的關(guān)鍵.