Question

已知極坐標(biāo)系的極點O與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C₁：與曲線C₂：（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．

Answer 1

【答案】分析：先將極坐標(biāo)方程化為普通方程，再將這兩個方程聯(lián)立，消去x，得y²-4y-16=0，再由韋達定理研究．
解答：證：曲線C₁的直角坐標(biāo)方程x-y=4，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程是拋物線y²=4x，（4分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將這兩個方程聯(lián)立，消去x，
得y²-4y-16=0⇒y₁y₂=-16，y₁+y₂=4，（6分）
∴x₁x₂+y₁y₂=（y₁+4）（y₂+4）+y₁y₂=2y₁y₂+4（y₁+y₂）+16=0．（8分）
∴，∴OA⊥OB．（10分）
點評：本題主要考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題．