Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點，O為坐標原點．
（1）求直線ON的斜率k_ON；
（2）對于橢圓C上的任意一點M，設（λ∈R，μ∈R），求證：λ²+μ²=1．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率，化簡橢圓的方程，設出AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，中點坐標公式及斜率公式，即可求斜率；
（2）確定坐標之間的關系，利用M，A，B在橢圓上，結合韋達定理，即可證明結論．
解答：（1）解：設橢圓的焦距為2c，
因為，所以有，故有a²=3b²．
從而橢圓C的方程可化為x²+3y²=3b²                                        ①
∴右焦點F的坐標為（，0），
據(jù)題意有AB所在的直線方程為：y=x-．②
由①，②有：．③
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點N（x，y），由③及韋達定理有：，
所以，即為所求．…（6分）
（2）證明：顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對實數(shù)λ，μ，使得等式成立．
設M（x，y），由（1）中各點的坐標有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
故x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．…（8分）
又因為點M在橢圓C上，所以有
整理可得：++2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④
由③有：，．
所以x₁x₂+3y₁y₂=3b²-9b²+6b²=0   ⑤
又點A，B在橢圓C上，故有==3b²．⑥
將⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1．…（13分）
點評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．