Question

已知動點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（

P

2

，0）（P＞0）和定直線x=-

P

2

得距離相等，
（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)M，N是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個不同點(diǎn)，直線OM和ON的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α+β=90°時，求證：直線MN恒過一定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)M為動圓圓心，（

P

2

，0）記為F，過點(diǎn)M作直線x=-

P

2

的垂線，垂足為N．由題意知：|MF|=|MN|，即動點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線x=-

P

2

的距離相等，由拋物線定義知：點(diǎn)M的軌跡為拋物線；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，將y=kx+b與y²=2px，由韋達(dá)定理，結(jié)合α+β=90°，能推導(dǎo)出直線AB恒過定點(diǎn)（2p，0）．

解答： 解：（1）設(shè)M為動圓圓心，（

P

2

，0）記為F，過點(diǎn)M作直線x=-

P

2

的垂線，垂足為N．
由題意知：|MF|=|MN|，即動點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線x=-

P

2

的距離相等，由拋物線定義知：點(diǎn)M的軌跡為拋物線，
其中F（

P

2

，0）為焦點(diǎn)，x=-

P

2

為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為y²=2px（p＞0）．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題意得x₁，x₂≠0．
又直線OM、ON的傾斜角α、β滿足α+β=90°，故0＜α，β＜90°，所以直線AB的斜率存在，
從而設(shè)直線AB方程為y=kx+b．顯然x₁=

y12

2p

，x₂=

y22

2p

．
將y=kx+b與y²=2px聯(lián)立消去x，得ky²-2py+2pb=0．
由韋達(dá)定理知y₁+y₂=

2p

k

，y₁y₂=

2pb

k

．
由α+β=90°，得1=tanαtanβ，∴y₁y₂=-x₁x₂，
∴

2pb

k

=-4p²，∴b=-2pk．此時，直線AB的方程可表示為y=kx-2pk，
∴直線AB恒過定點(diǎn)（2p，0）．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線恒過定點(diǎn)的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．