Question

已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F恰好是中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，1），M為橢圓C上任意一點(diǎn)，求|MF|+|MA|的最大值；
（Ⅲ）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1．試證明當(dāng)點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，且滿足

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知推導(dǎo)出|MF|+|MF′|=2a=10，|MF|+|MA|=10+|MA|-|MF′|，由此能求出|MF|+|MA|的最大值．
（Ⅲ）由點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，知m2+n2＞

m2

25

+

n2

16

=1，由此能求出直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R），
∴（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0，
則由

x-2y-3=0 4x+3y-12=0

，解得

x=3 y=0

，
∴定點(diǎn)F（3，0）．
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
∵直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F
恰好是中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，
且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8，
∴

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

，解得

a=5 b=4 c=3

，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別F（3，0），F(xiàn)′（-3，0），
則有|MF|+|MF′|=2a=10，
|MF|+|MA|=10+|MA|-|MF′|，
當(dāng)M，A，F(xiàn)′三點(diǎn)不共線時(shí)，|MA|-|MF|＜|F′A|，
當(dāng)M落在AF′的延長(zhǎng)線上時(shí)，|MA|-|MF′|=|F′A|，
|F′A|=

(-2+3)2+(1-0)2

=

2

，
∴|MF|+|MA|的最大值為10+

2

．
（Ⅲ）∵點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，
∴m2+n2＞

m2

25

+

n2

16

=1，
∴圓O的圓心到直線l的距離d=

1

m2+n2

＜1=r，
∴直線l與圓O相交，
∵直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為：
L=2

r2-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 25 9m2+400

，0≤m²≤25，
∴L∈[

15

2

，

4 6

5

]，
∴直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)的取值范圍[

15

2

，

4 6

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的求法，考查兩線段和的最大值的求法，考查弦長(zhǎng)的取值范圍的求法，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．