Question

已知函數f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）．
（1）判定函數f（x）在（-1，+∞）上的單調性，并給出證明；
（2）證明：方程f（x）=0沒有負數根．

Answer 1

考點：函數的零點,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）設x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據函數單調性的定義，得到答案．
（2）假設f（x）=0 有負根 x₀，即 f（x₀）=0，根據f（0）=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①，若-1＜x₀＜0，由條件可得f（x₀）＜f（0）=-1，這與①矛盾，若x₀＜-1，可得 f（x₀）＞0，這也與①矛盾．

解答： 解：（1）函數在f（x）在（-1，+∞）上為增函數．
證明如下：設x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∵a＞1，
∴ax1-ax2＜0，x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=（ax1+

x1-2

x1+1

）-（ax2+

x2-2

x2+1

）=（ax1-ax2）+[

(x1-2)(x2+1)

(x1+1)(x2+1)

-

(x2-2)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

]=（ax1-ax2）+

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數．
證明：（2）假設f（x）=0 有負根 x₀，且 x₀≠-1，即 f（x₀）=0．
根據f（0）=1+

0-2

0+1

=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①． 
若-1＜x₀＜0，由函數f（x）=a^x+

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函數，可得f（x₀）＜f（0）=-1，這與①矛盾．
若x₀＜-1，則 ax0＞0，x₀-2＜0，x₀+1＜0，∴f（x₀）＞0，這也與①矛盾．
故假設不正確．
∴方程 a^x+

x-2

x+1

=0 沒有負根．

點評：本題考查的知識點是函數單調性的證明，用反證法證明數學命題，推出矛盾，是解題的關鍵和難點．