Question

已知正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1,平面ABCD和平面ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動，點(diǎn)N在BF上移動，若CM=BN=a(0＜a＜).

（1）求MN的長.

（2）當(dāng)a為何值時，MN的長最短？并求出|MN|的最小值.

Answer 1

活動：學(xué)生思考或討論，師生共同探討解題方法，此題的求解方法很多，但利用坐標(biāo)法求解既簡單，又易行，我們必須建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求MN的長，求|MN|的最小值，我們可構(gòu)建關(guān)于a的函數(shù)，利用函數(shù)的最值來解決.

解：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB⊥BE,∴BE⊥平面ABC.∴AB，BC，BE兩兩垂直.∴以B為原點(diǎn)，分別以射線BA，BE，BC為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系B—xyz,如圖3.

圖3

(1)∵正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1,CM=BN=a,

∴M(a,0,1a),N(a, a,0).由空間兩點(diǎn)間的距離公式得

|MN|==.

（2）由本題（1）可知|MN|=,其中0＜a＜,所以，當(dāng)a=時，|MN|最短，|MN|的最小值為.此時，M，N恰為AC，BF的中點(diǎn).

點(diǎn)評：運(yùn)用空間點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題時，首先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行求解.在建立空間直角坐標(biāo)系時，應(yīng)注意原點(diǎn)的選擇，原點(diǎn)的選擇要便于解決問題，既有利于作圖的直觀性，又要知盡可能的使點(diǎn)的坐標(biāo)為正值.