Question

（選做題）求函數(shù)f（x）=（2^x）²-a•2^x-4在x∈[-1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：2^x=t，則t∈[

1

2

，4]，則f（x）=g（t）=t²-at-4，分當(dāng)

a

2

≤

1

2

、當(dāng)

1

2

＜

a

2

＜4、當(dāng)

a

2

≥4三種情況，本別求出函數(shù)g（t）的最小值，綜合可得結(jié)論．

解答：解：設(shè)2^x=t，∵x∈[-1，2]，∴t∈[

1

2

，4]，
∴f（x）=g（t）=t²-at-4．
此函數(shù)的對稱軸為 t=

a

2

．
①當(dāng)

a

2

≤

1

2

，即a≤1時(shí)，g（t）在[

1

2

，4]單調(diào)遞增，最小值為g（

1

2

）=-

a

2

-

15

4

．
②當(dāng)

1

2

＜

a

2

＜4時(shí)，即1＜a＜8時(shí)，函數(shù)g（t）的最小值等于 g（

a

2

）=

a2

2

-4．
③當(dāng)

a

2

≥4時(shí)，即a≥8時(shí)，g（t）在[

1

2

，4]單調(diào)遞減，函數(shù)g（t）的最小值等于g（4）=-4a+12．
綜上可得，函數(shù)g（t）的最小值g_min（t）=

- a 2 - 15 4  ，  a≤1 - a2 2 -4 ，  1＜a＜8 -4a+12  ，a≥8

．

點(diǎn)評：本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．