Question

1．如圖所示，已知點(diǎn)S（0，3），過點(diǎn)S作直線SM，SN與圓Q：x²+y²-2y=0和拋物線C：x²=-2py（p＞0）都相切．
（1）求拋物線C和兩切線的方程；
（2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（0，-2）的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)C（其中點(diǎn)B靠近點(diǎn)C），且|AF|=5，求△BCF與△ACF的面積之比．

Answer 1

分析 （1）1）設(shè)切線方程為y=kx+3，即 kx-y+3=0，圓心到直線的距離為d=1，求出k，可得切線方程，代入拋物線方程，利用△=0，求出拋物線的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由|AF|=5，可得-y₂+1=5，解得y₂，代入拋物線方程可得x₂．A，P，M三點(diǎn)共線，求出B的坐標(biāo)，即可求出△BCF與△ACF的面積之比．

解答 解：（1）設(shè)切線方程為y=kx+3，即 kx-y+3=0，
圓Q：x²+y²-2y=0的圓心為（0，1），半徑為1，圓心到直線的距離為d=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴k=$±\sqrt{3}$，
∴兩切線的方程y=$±\sqrt{3}$x+3，
代入x²=-2py，可得x²±2$\sqrt{3}$px+6p=0，
△=12p²-24p=0，∴p=2，
∴拋物線C的方程x²=-4y；…（7分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由|AF|=5，可得-y₂+1=5，
解得y₂=-4，代入拋物線方程可得x₂=-4．
∴A（-4，-4）．
∵A，P，M三點(diǎn)共線，∴B（2，-1），
∴△BCF與△ACF的面積之比=$\frac{|BC|}{|AC|}$=$\frac{1+1}{4+1}$=$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．