Question

13．某經銷商計劃銷售一款新型的空氣凈化器，經市場凋研發(fā)現以下規(guī)律：當每臺凈化器的利潤為x（單位：元，x＞0）時，銷售量q（x）（單位：百臺）與x的關系滿足：若x不超過20，則q（x）=$\frac{1260}{x+1}$；若x大于或等于180，則銷售為零；當20≤x≤180時．q（x）=a-b$\sqrt{x}$（a，b為實常數）．
（1）求函數q（x）的表達式；
（2）當x為多少時，總利潤（單位：元）取得最大值，并求出該最大值．

Answer 1

分析 （1）分段函數由題意知分界點處函數值相等得到a，b
（2）總利潤為每臺的利潤乘以銷售量，分段函數每段求最大值，最后選擇一個最大的為分段函數的最大值．

解答 解：（1）由x=20和x=180時可以解得a，b
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1260}{21}=a-b\sqrt{20}}\\{a-b\sqrt{180}=0}\end{array}\right.$
∴a=90，b=3$\sqrt{5}$
∴q（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1260}{x+1}}&{0＜x≤20}\\{90-3\sqrt{5x}}&{20≤x≤180}\\{0}&{x≥180}\end{array}\right.$
（2）設總利潤為W（x）
則W（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1260x}{x+1}}&{0＜x≤20}\\{90x-3x\sqrt{5x}}&{20≤x≤180}\\{0}&{x≥180}\end{array}\right.$
①當x∈（0，20]時，W（x）=1260-$\frac{1260}{x+1}$為單調遞增，最大值為1200，此時x=20
②當x∈[20，180]時，W（x）=90x-3x$\sqrt{5x}$，（W（x））′=90-$\frac{9\sqrt{5}}{2}\sqrt{x}$
此時x∈[20，80]時，W（x）單調遞增．x∈[80，180]時，W（x）單調遞減
∴在x=80時取得最大為2400
綜上所述：x=80時，總利潤最大為2400元．

點評 本題考查分段函數的解析式問題，由題意知分界點處函數值相等得到a，b．總利潤為每臺的利潤乘以銷售量，分段函數每段求最大值，最后選擇一個最大的為分段函數的最大值．