Question

已知直線y=x-2與拋物線y²=2x相交于點A、B,求證:OA⊥OB.

Answer 1

思路分析：可以把直線方程代入拋物線的方程解出兩點的坐標，利用直線斜率知識來求證.也可以不求出交點的坐標利用韋達定理表示出OA、OB所在直線的斜率.

證法一:將y=x-2代入y²=2x中,得(x-2)²=2x.化簡得x²-6x+4=0.

∴x=3±.

∴x=時,y=;x=時,y=.

∴k_OA·k_OB==-1.∴OA⊥OB.

證法二:同證法一,得方程x²-6x+4=0.

∴x₁+x₂=6,x₁·x₂=4.

∴y₁·y₂=(x₁-2)(x₂-2)=x₁·x₂-2(x₁+x₂)+4=-4.

∴k_OA·k_OB==-1.∴OA⊥OB.