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 已知焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的離心率為，且過點(diǎn)。

（I）求橢圓C的方程；

（II）直線分別切橢圓C與圓（其中3<R<5）于A、B兩點(diǎn)，求|AB|    的最大值。

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解：（I）設(shè)橢圓的方程為，則，

橢圓過點(diǎn)  ，解得a2=25,b2=9，

故橢圓C的方程為……………………………………………………………4分

（II）設(shè)A（x1，y1）,B（x2，y2）分別為直線l與橢圓和圓的切點(diǎn)，

直線AB的方程為y=kx+m，因?yàn)锳既在橢圓上，又在直線AB上，

從而有，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2-9）=0，

由于直線與橢圓相切，

故=(50kmx)2-4(25k2+9)25(m2-9)=0，從而可得：m2=9+25k2，①，x1=,②

由。消去y得：(k2+1)x2+2kmx+m2-R2=0，

由于直線與圓相切，得m2=R2(1+k2),③,x2=,④

由②④得：x2-x1=,由①③得：k2=,……………………………9分

即|AB|2，當(dāng)且僅當(dāng)R=時(shí)取等號(hào)，所以|AB|的最大值為2  ………………… 12分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
3
2
，過點(diǎn)M（-1，0）的直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）若直線l的斜率為1，且
PM
=-
3
5
QM
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若（1）中橢圓的右頂點(diǎn)為A，直線l的傾斜角為α，問α為何值時(shí)，
AP
•
AQ
取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•山東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為2，離心率為
2
2

（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為
6
4
的任意兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C與點(diǎn)P，設(shè)
OP
=t
OE
，求實(shí)數(shù)t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•深圳二模）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓C的右準(zhǔn)線上的點(diǎn)P(2，
3
)，滿足線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2．直線l：y=kx+m為動(dòng)直線，且直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點(diǎn)Q，滿足
OA
+
OB
=λ
OQ
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)λ取何值時(shí)，△ABO的面積最大，并求出這個(gè)最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，則該雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，并且焦距為2，短軸與長軸的比是
3
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知橢圓中有如下定理：過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上任意一點(diǎn)M（x0，y0）的切線唯一，且方程為
x0x
a2
+
y0y
b2
=1，利用此定理求過橢圓的點(diǎn)(1，
3
2
)的切線的方程；
（3）如圖，過橢圓的右準(zhǔn)線上一點(diǎn)P，向橢圓引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．

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同步練習(xí)冊(cè)答案