Question

已知雙曲線 2x²-2y²=1的兩個焦點為F₁，F₂，P為動點，若|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）求cos∠F₁PF₂的最小值；
（Ⅲ）設點M（-2，0），過點N（，0）作直線l交軌跡E于A、B兩點，判斷∠AMB的大小是否為定值？并證明你的結論．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意雙曲線方程可化為，則|F₁F₂|=2，∴|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2
可知點P的軌跡是以F₁，F₂為焦點的橢圓，其方程可設為
由2a=4，2c=2得a=2，c=1∴b²=4-1=3則所求橢圓方程為，
故動點P的軌跡E的方程為；（3分）
（Ⅱ）設|PF₁|=m＞0，|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，則由m+n=4，|F₁F₂|=2可知
在△F₁PF₂中
又∵∴mn≤4，即∴
當且僅當m=n=2時等號成立．故cos∠F₁PF₂的最小值為（6分）
（Ⅲ）當l與x軸重合時，構不成角AMB，不合題意．
當l⊥x軸時，直線l的方程為，代入解得A．B的坐標分別為，，而，∴∠AMB=90°，
猜測∠AMB=90°為定值．（8分）
證明：設直線l的方程為，由，
得
∴，（10分）
∴=====0
∴∠AMB=90°為定值．（AB與點M不重合）（14分）
分析：（Ⅰ）依題意雙曲線方程可化為，|F₁F₂|=2，|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2，知點P的軌跡是以F₁，F₂為焦點的橢圓，由2a=4，2c=2得a=2，c=1，知所求動點P的軌跡E的方程．
（Ⅱ）設|PF₁|=m＞0，|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，則由m+n=4，|F₁F₂|=2可知在△F₁PF₂中，，故mn≤4，由此知∠F₁PF₂的最小值為．
（Ⅲ）當l與x軸重合時，構不成角AMB，不合題意．當l⊥x軸時，直線l的方程為，代入解得A．B的坐標分別為，，而，故∠AMB=90°，猜測∠AMB=90°為定值，再由韋達定理進行證明．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．