Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=(2+S_n)對(duì)一切正整數(shù)n都成立.

    (Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

    (Ⅱ)設(shè)b_n=n(a_n-1)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n.

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)由已知得a_n=1+S_n，a_n-1=1+S_n-1(n≥2)，

兩式相減得a_n=2a_n-1(n≥2)

所以=2(n≥2)

又a₁=1+a₁  ∴a₁=2

故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列所以a_n=2×2^n-1=2ⁿ

(Ⅱ)b_n=n(2ⁿ-1)=n2ⁿ-n

設(shè)T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n2ⁿ  ①

則2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+(n-1)2ⁿ+n2ⁿ⁺¹  ②

②-①得T_n=-(2+2²+2³+…+2ⁿ)+n2ⁿ⁺¹=+n2ⁿ⁺¹=2-2ⁿ⁺¹+n2ⁿ⁺¹

所以B_n=2+(n-1)2ⁿ⁺¹