Question

14．已知不等式2x+$\sqrt{1-x}$+a≤0對(duì)任意的x≤0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，-1]．

Answer 1

分析 由題意可得-a≥2x+$\sqrt{1-x}$的最大值，令$\sqrt{1-x}$=t（t≥1），由二次函數(shù)的最值的求法，結(jié)合單調(diào)性可得最大值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答 解：不等式2x+$\sqrt{1-x}$+a≤0對(duì)任意的x≤0恒成立，
即為-a≥2x+$\sqrt{1-x}$的最大值，
令$\sqrt{1-x}$=t（t≥1），則x=1-t²，
即有2x+$\sqrt{1-x}$=2-2t²+t=-2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
在[1，+∞）遞減，當(dāng)t=1時(shí)，取得最大值1，
即有-a≥1，解得a≤-1．
故答案為：（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．