Question

如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O₁為△ABC的內(nèi)切圓，圓O₂與圓O₁外切，且與AB，BC相切，…，圓O_n+1與圓O_n外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續(xù)下去．記圓O_n的面積為a_n（n∈N）．
（Ⅰ）證明{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求（a₁+a₂+…+a_n）的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）記r_n為圓O_n的半徑，
則，，
于是，
由此可知{a_n}成等比數(shù)列．

（Ⅱ）由，能夠?qū)С?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213718258604861/SYS201310232137182586048014_DA/4.png">（a₁+a₂+…+a_n）的值．
解答：（Ⅰ）證明：記r_n為圓O_n的半徑，
則，

所以，
于是，

故{a_n}成等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213718258604861/SYS201310232137182586048014_DA/10.png">，
所以
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、三角函數(shù)等基本知識，解題時要注意提高邏輯思維能力．