Question

20．若$\lim_{n→∞}\frac{3^n}{{{3^{n+1}}+{{（{a+1}）}^n}}}=\frac{1}{3}$，且$\lim_{n→∞}{（{\frac{1-a}{2}}）^n}$存在，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1≤a＜2．

Answer 1

分析 根據(jù)$\lim_{n→∞}\frac{3^n}{{{3^{n+1}}+{{（{a+1}）}^n}}}=\frac{1}{3}$得出-1＜$\frac{a+1}{3}$＜1，再根據(jù)$\lim_{n→∞}{（{\frac{1-a}{2}}）^n}$存在得出-1＜$\frac{1-a}{2}$≤1，由此求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵$\lim_{n→∞}\frac{3^n}{{{3^{n+1}}+{{（{a+1}）}^n}}}=\frac{1}{3}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{3{+（\frac{a+1}{3}）}^{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∴-1＜$\frac{a+1}{3}$＜1，
解得-4＜a＜2；
又$\lim_{n→∞}{（{\frac{1-a}{2}}）^n}$存在，
∴-1＜$\frac{1-a}{2}$≤1，
解得-1≤a＜3；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1≤a＜2．
故答案為：-1≤a＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的極限與運(yùn)算問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)進(jìn)行化簡(jiǎn)與轉(zhuǎn)化，是基礎(chǔ)題目．