Question

已知：數(shù)列為：

1

1

，

2

1

，

1

2

，

3

1

，

2

2

，

1

3

，

4

1

，

3

2

，

2

3

，

1

4

…則a₂₀₁₂=

5

59

．

Answer 1

分析：將題中數(shù)列按“三角形數(shù)陣”排列，發(fā)現(xiàn)第一行有1個數(shù)，第二行有2個數(shù)，第三行有3個數(shù)，依此類推第k行有k個數(shù)．因此，解不等式1+2+…+k≥2012，找到滿足條件的最小正整數(shù)63，說明a₂₀₁₂在第63行，再根據(jù)第63行第63個數(shù)得到a₂₀₁₂是63行第59個數(shù)，最后根據(jù)已知數(shù)列的排列規(guī)律，得到a₂₀₁₂的值．

解答：解：將題中數(shù)列按“三角形數(shù)陣”排列，得

1

1

2

1

，

1

2

3

1

，

2

2

，

1

3

4

1

，

3

2

，

2

3

，

1

4

…
由此得到第k行的排列：

k

1

，

k-1

2

，

k-2

3

，…，

2

k-1

，

1

k

 （k∈Z）
假設(shè)a₂₀₁₂在第k行，則k是滿足1+2+…+k≥2012的最小正整數(shù)
即

k(k+1)

2

≥2012，可得滿足條件的最小正整數(shù)k=63
∴a₂₀₁₂在第63行，并且a

k(k+1)

2

=a2016=

1

63

是63行的第63個數(shù)，
因此，a₂₀₁₂是63行的倒數(shù)第5個，也是第59個數(shù)，可得a₂₀₁₂=

5

59

故答案為：

5

59

點評：本題給出一個特殊數(shù)列，要求我們發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律并寫出該數(shù)列的第2012項，著重考查了等差數(shù)列的通項與求和、歸納推理的一般方法等知識，屬于中檔題．