Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡f（x），從而求出周期T；（Ⅱ）根據(jù)x的范圍，求出2x-$\frac{π}{6}$的范圍，從而求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
（Ⅰ）$T=\frac{2π}{2}=π$；                           
（Ⅱ）∵$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
即$\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
由此得到：f（x）_max=1，此時$x=\frac{π}{3}$；
∴$f{（x）_{min}}=\frac{1}{2}$，此時$x=\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)變換問題，考查求函數(shù)的周期以及函數(shù)的值域問題，是一道中檔題．