Question

已知函數(shù)f（x）=x+tanx，項(xiàng)數(shù)為17的等差數(shù)列{a_n}滿足a_n∈（-

π

2

，

π

2

），且公差d≠0．若f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₇）=0，則當(dāng)k=

 

時(shí)，f（a_k）=0．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先判斷函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再由f（a₁）+f（a₂）+…f（a₁₇）=0，可得中間項(xiàng)的函數(shù)值為0，即可得到結(jié)論．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x+tanx，所以f（-x）=-x-tanx=-f（x）
所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖象過原點(diǎn)．
而f（a₁）+f（a₂）+…f（a₁₇）=0，∴a₁，a₂，…，a₂₇前后相應(yīng)項(xiàng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱等差數(shù)列，
∴必有中間數(shù)f（a₉）=0，∴k=9．
故答案為：9

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．