Question

如圖是各棱長均相等的正四棱錐表面展開圖，T為QS的中點，則在四棱錐中PQ與RT所成角的余弦值為

 

．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：計算題,空間角

分析：連接SP，RA，相交于O，連接TO，則TO∥PQ，∠RTO為兩異面直線PQ與RT所成角或補角．證明AR⊥平面PQS，可得△TOR為直角三角形，解此直角三角形求出cos∠RTO的值．

解答： 解：設棱長為2，如圖，在正四棱錐中，連接SP，RA，相交于O，連接TO，
∵ET為QS的中點，
則TO∥PQ，∠RTO為兩異面直線PQ與RT所成角或補角．
由正四棱錐的性質可得QO⊥平面APRS，故QO⊥AR．
再由正方形ABCD的對角線的性質可得AR⊥PS，
這樣，AR垂直于面PQS內的兩條相交直線QO和PS，故AR⊥平面PQS，故△TOR為直角三角形．
∵OT=1，OR=

2

，TR=

3

，故cos∠RTO=

3

3

，
故答案為

3

3

．

點評：本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，找出兩異面直線所成的角，是解題的關鍵，屬于中檔題．