Question

已知拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線(xiàn)C上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)A，P滿(mǎn)足

AP

=-2

FA

，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)M（m，0），其中m為常數(shù)，m∈R⁺，點(diǎn)A到M的距離記為d，求d的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P和A的坐標(biāo)，求出拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，由

AP

=-2

FA

，得出P點(diǎn)和A點(diǎn)的關(guān)系，利用代入法求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）表示出點(diǎn)A到M的距離，利用配方法，結(jié)合m的范圍，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x_A，y_A），則

AP

=（x-x_A，y-y_A），
因?yàn)镕的坐標(biāo)為（1，0），所以

FA

=（x_A-1，y_A），
因?yàn)?span id="owcy6ys" class="MathJye">

AP

=-2

FA

，所以（x-，y-y_A）=-2（x_A-1，y_A）．
所以x-x_A=-2（x_A-1），y-y_A=-2y_A，
所以x_A=2-x，y_A=-y
代入y²=4x，得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=8-4x；
（2）由題意，d=

(m-xA)2+yA2

=

(m-xA)2+4xA

=

(xA+2-m)2-4-4m

∴m-2≤0，即0＜m≤2，x_A=0時(shí)，d_min=m；
m-2＞0，即m＞2，x_A=m-2時(shí)，d_min=-4-4m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查配方法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．