Question

8．關于函數(shù)$f（x）=4sin（2x-\frac{π}{3}）（x∈R）$，有下列命題：
①$y=f（x+\frac{5π}{12}）$為偶函數(shù)；
②要得到g（x）=-4sin2x的圖象，只需將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位；
③y=f（x）的圖象關于點$（{\frac{π}{6}，0}）$對稱；
④y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{2kπ-\frac{π}{12}，2kπ+\frac{5π}{12}}]（k∈Z）$．
其中正確的序號為①②③．

Answer 1

分析 ①$y=f（x+\frac{5π}{12}）$=$4sin（2x+\frac{π}{2}）$=4cos2x，即可判斷出真假；
②將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位可得：y=$4sin[2（x-\frac{π}{3}）-\frac{π}{3}]$=-4sin2x，即可判斷出真假；
③由于$f（\frac{π}{6}）$=$4sin（2×\frac{π}{6}-\frac{π}{3}）$=0，即可判斷出真假；
④由$2kπ-\frac{π}{2}$≤$2x-\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，即可判斷出真假．

解答 解：①$y=f（x+\frac{5π}{12}）$=$4sin（2x+\frac{π}{2}）$=4cos2x為偶函數(shù)，正確；
②將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位可得：y=$4sin[2（x-\frac{π}{3}）-\frac{π}{3}]$=-4sin2x，因此正確；
③由于$f（\frac{π}{6}）$=$4sin（2×\frac{π}{6}-\frac{π}{3}）$=0，因此y=f（x）的圖象關于點$（{\frac{π}{6}，0}）$對稱，正確；
④由$2kπ-\frac{π}{2}$≤$2x-\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，可得：y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，故不正確．
其中正確的序號為 ①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．