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【題目】已知為圓上的動點，點在圓的半徑上運動，點在上，且滿足，其中.

（1）求點的軌跡方程；

（2）設不過原點的直線與點的軌跡交于兩點，且點關于恒過定點的直線對稱.求面積的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義判斷出點的軌跡是以點為焦點，求得的值，進而求得點的軌跡方程.

（2）設出直線的方程為、直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和點的軌跡方程，消去化簡并令其判別式大于零.將線段中點代入直線的方程，求得的關系式，并由此求得的取值范圍.求得弦長的表達式，求得點到直線的距離，由此求得三角形面積的表達式，利用二次函數(shù)的性質求得三角形面積的取值范圍.

（1）由題意是線段的垂直平分線，

點的軌跡是以點為焦點，焦距為2，長軸長為的橢圓，

，故點的軌跡方程是

（2）設直線的方程為，由題意知，則直線的方程為.

聯(lián)立消去，得

①

將線段的中點坐標代入，得②

由①②得或，

令，則.轉化為，也即.轉化為.則，且到直線的距離為.

設的面積為，

當且僅當時，等號成立，此時滿足

故面積的取值范圍為.

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