Question

如圖,直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=AC=AA₁=a,∠BAC=90°,D為棱B₁B的中點.

(1)證明A₁D⊥平面ADC;

(2)求異面直線A₁C與C₁D所成角的大小;

(3)求平面A₁CD與平面ABC所成二面角的大小(僅考慮銳角的情況).

Answer 1

(1)證明:∵△A₁B₁D和△ABD都為等腰直角三角形,

∴∠A₁DB₁=∠ADB=45°.

∴∠A₁DA=90°,即A₁D⊥AD.

又∵.

∴A₁D⊥平面ADC.

(2)解:如圖,連結(jié)AC₁交A₁C于E點,取AD中點F,連結(jié)EF、CF,則EF∥C₁D.

∴∠CEF是異面直線A₁C與C₁D所成的角(或補角).

EF=C₁D=,CE=A₁C=,.

在△CEF中,cos∠CEF=.

∴∠CEF=arccos.

(3)解:如上圖,延長A₁D與AB延長線交于G點,連結(jié)CG,

過A作AH⊥CG于H點,連結(jié)A₁H,

∵A₁A⊥平面ABC,

∴A₁H⊥CG(三垂線定理).

∴∠AHA₁是二面角A₁CGA的平面角,即所求二面角的平面角.

在△ACG中,∵AC=a,AG=2a,

∴AH=,

tan∠A₁HA=.

∴∠A₁HA=arctan.