Question

4．以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$，（α為參數，且α∈[0，π）），曲線C₂的極坐標方程為ρ=-2sinθ．
（1）求C₁的極坐標方程與C₂的直角坐標方程；
（2））若P是C₁上任意一點，過點P的直線l交C₂于點M，N，求|PM|•|PN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出C₁的普通方程，即可求C₁的極坐標方程，利用極坐標方程與直角坐標方程的互化方法得出C₂的直角坐標方程；
（2）直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數），代入C₂的直角坐標方程得（x₀+tcosα）²+（y₀+tsinα+1）²=1，由直線參數方程中t的幾何意義可知|PM|•|PN|=|1+2y₀|，即可求|PM|•|PN|的取值范圍．

解答 解：（1）消去參數可得x²+y²=1，因為α∈[0，π），所以-1≤x≤1，0≤y≤1，
所以曲線C₁是x²+y²=1在x軸上方的部分，
所以曲線C₁的極坐標方程為ρ=1（0≤θ≤π）．…（2分）
曲線C₂的直角坐標方程為x²+（y+1）²=1…（5分）
（2）設P（x₀，y₀），則0≤y₀≤1，直線l的傾斜角為α，
則直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數）．…（7分）
代入C₂的直角坐標方程得（x₀+tcosα）²+（y₀+tsinα+1）²=1，
由直線參數方程中t的幾何意義可知|PM|•|PN|=|1+2y₀|，
因為0≤y₀≤1，所以|PM|•|PN|=∈[1，3]…（10分）

點評 本題考查三種方程的互化，考查參數方程的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．