Question

已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，?π]，向量=（，-1）
（1）若，求θ的值?；
（2）若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵=（cosθ，sinθ），=（，-1），⊥，
∴cosθ-sinθ=0，變形得：tanθ=，
又θ∈[0，π]，
則θ=；
（2）∵2-=（2cosθ-，2sinθ+1），
∴|2-|²=（2cosθ-）²+（2sinθ+1）²=8+8（sinθ-cosθ）=8+8sin（θ-），
又θ∈[0，π]，
∴θ-∈[-，]，∴-≤sin（θ-）≤1，
∴|2-|²的最大值為16，
∴|2-|的最大值為4，
又|2-|＜m恒成立，
所以m＞4．
分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量垂直其數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，求出tanθ的值，由θ的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出θ的度數(shù)；
（2）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算出2-的坐標(biāo)，利用向量模的計算公式表示出|2-|²，整理后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由θ的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出此時正弦函數(shù)的值域，進而得出|2-|的最大值，根據(jù)不等式恒成立時滿足的條件，令m大于|2-|的最大值即可求出m的范圍．
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，平面向量的數(shù)量積運算法則，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．