Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|．
（Ⅰ）若f（x）的最小值為a，試求a的值；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜

1

2

x+4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由絕對值的意義可得函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|的最小值為4，從而得到a的值．
（Ⅱ）不等式即|x+1|+|x-3|＜

1

2

x+4，可得①

x＜-1 -x-1+3-x＜ 1 2 x+4

，或②

-1≤x＜3 x+1+3-x＜ 1 2 x+4

，或③

x≥3 x+1+x-3＜ 1 2 x+4

．分別求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|表示數(shù)軸上的x對應點到-1和3對應點的距離之和，它的最小值為4，
故a=4．
（Ⅱ）不等式f（x）＜

1

2

x+4，即|x+1|+|x-3|＜

1

2

x+4，∴①

x＜-1 -x-1+3-x＜ 1 2 x+4

，
或②

-1≤x＜3 x+1+3-x＜ 1 2 x+4

，
或③

x≥3 x+1+x-3＜ 1 2 x+4

．
解①求得x∈∅，
解②求得0＜x＜3，
解③求得3≤x＜4．
綜上可得，0＜x＜4，故不等式的解集為（0，4）．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．