Question

直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1的右支交于不同的兩點A、B．

（1）求實數(shù)k的取值范圍；

（2）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查直線、雙曲線的方程和性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系，及其綜合應(yīng)用能力． 解：（1）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1后，整理得 (k2-2)x2+2kx+2=0．               ① 依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故 解得k的取值范圍是-2<k<． （2）設(shè)A、B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則由①式得                  ② 假設(shè)存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F(c，0)．則由FA^FB得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0． 即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+2)=0． 整理得    (k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0．③ 把②式及c=代入③式化簡得 5k2+-6=0． 解得k=或k=Ï(-2，)（舍去）． 可知k=使得以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點．