Question

已知△ABC中,∠ABC=30°,PA⊥平面ABC,PC⊥BC,PB與平面ABC成45°角.求二面角A-PB-C的正弦值.

Answer 1

解析:過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,

∵PA⊥平面ABC,CD平面ABC,

∴CD⊥PA.∴CD⊥平面PAB.

作DE⊥PB于E,連結(jié)CE,則CE⊥PB.∴∠DEC為二面角A-PB-C的平面角.

設(shè)AC=m,由PC⊥BC,PA⊥平面ABC得∠ACB=90°.又∠ABC=30°,知BC=m.

∴CD=BCsin30°=m,AB==2m.

由PA⊥平面ABC,知∠PBA為PB與平面ABC所成的角.

∴∠PBA=45°.∴PA=BA=2m.

在Rt△PAC中,PC=.

在Rt△PBC中,PB=.

∵PB·EC=PC·BC,

∴EC=.

在Rt△ECD中,sin∠CED=,

即二面角APBC的正弦值為.

小結(jié):此題作二面角的平面角的方法是:過(guò)二面角的面PBC內(nèi)的點(diǎn)C向二面角的另一個(gè)面PAB作垂線CD,垂足為D,然后由D向二面角的棱PB作垂線,垂足為E,連結(jié)CE,由三垂線定理知CE⊥PB,從而∠DEC為二面角的平面角.此種作二面角的方法稱為“垂線法”.“垂線法”是作二面角的平面角的常用方法,應(yīng)當(dāng)重視這種方法.此題也可過(guò)A作AG⊥PC于G(易證AG⊥平面PBC),利用AG作二面角A-PB-C的平面角.