Question

已知△ABC的周長(zhǎng)為

3

+1，且sinA+sinB=

3

sinC，△ABC的面積為

3

8

sinC．
（1）求邊AB的長(zhǎng)；
（2）求tan（A+B）的值．

Answer 1

分析：（1）由條件得AB+BC+AC=

3

+1，再由正弦定理得BC+AC=

3

AB，兩式相減求得AB的值．
（2）由△ABC的面積為

3

8

sinC求得BC•AC=

3

4

，由余弦定理求得cosC=

1

3

，可得sinC=

2 2

3

，求出tanC的值，利用誘導(dǎo)公式求得tan（A+B）的值．

解答：解：（1）因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)為

3

+1，所以AB+BC+AC=

3

+1．----------（1分）
又sinA+sinB=

3

sinC，由正弦定理得BC+AC=

3

AB．--------------（3分）
兩式相減，得AB=1．------------（4分）
（2）由于△ABC的面積

1

2

BC•ACsinC=

3

8

sinC，得BC•AC=

3

4

，-----（6分）
由余弦定理得cosC=

AC2+BC2-AB2

2AC•BC

------------（8分）
=

(AC+BC)2-2AC•BC-AB2

2AC•BC

=

1

3

，---------（10分）
又0°＜C＜180°，所以sinC=

1-cos2C

=

2 2

3

．------------（12分）
故tan(A+B)=-tanC=-2

2

．----------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理以及誘導(dǎo)公式，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于中檔題．