Question

甲乙兩位同學(xué)參加學(xué)校安排的3次體能測試，規(guī)定按順序測試，一旦測試合格就不必參加以后的測試，否則3次測試都要參加．甲同學(xué)3次測試每次合格的概率組成一個(gè)公差為

1

8

的等差數(shù)列，他第一次測試合格的概率不超過

1

2

，且他直到第二次測試才合格的概率為

9

32

，乙同學(xué)3次測試每次測試合格的概率均為

2

3

，每位同學(xué)參加的每次測試是否合格相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求甲同學(xué)第一次參加測試就合格的概率P；
（Ⅱ）設(shè)甲同學(xué)參加測試的次數(shù)為m，乙同學(xué)參加測試的次數(shù)為n，求ξ=m+n的分布列．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由甲同學(xué)3次測試每次合格的概率組成一個(gè)公差為

1

8

的等差數(shù)列，又甲同學(xué)第一次參加測試就合格的概率為P，故而甲同學(xué)參加第二、三次測試合格的概率分別是p+

1

8

、p+

1

4

，由題意知，（1-p）（p+

1

8

）=

9

32

，由此能求出甲同學(xué)第一次參加測試就合格的概率．
（Ⅱ）甲同學(xué)參加第二、三次測試合格的概率分別是

3

8

、

1

2

，由題意知，ξ的可能取值為2，3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ=m+n的分布列．

解答： 解：（Ⅰ）由甲同學(xué)3次測試每次合格的概率組成一個(gè)公差為

1

8

的等差數(shù)列，
又甲同學(xué)第一次參加測試就合格的概率為P，
故而甲同學(xué)參加第二、三次測試合格的概率分別是p+

1

8

、p+

1

4

，
由題意知，（1-p）（p+

1

8

）=

9

32

，解得p=

1

4

或p=

5

8

（舍），
所以甲同學(xué)第一次參加測試就合格的概率為

1

4

．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知甲同學(xué)參加第二、三次測試合格的概率分別是

3

8

、

1

2

，
由題意知，ξ的可能取值為2，3，4，5，6，由題意可知
P（ξ=2）=

1

4

×

2

3

=

1

6

，
P（ξ=3）=

1

4

×(

1

3

×

2

3

)+(

3

4

×

3

8

)×

2

3

=

35

144

，
P（ξ=4）=

1

4

×(

1

3

×

1

3

)+(

3

4

×

3

8

)(

1

3

×

2

3

)+(

3

4

×

5

8

)×

2

3

=

58

144

，
P（ξ=5）=（

3

4

×

3

8

）×（

1

3

×

1

3

）+（

3

4

×

5

8

）×（

1

3

×

2

3

）=

13

96

，
P（ξ=6）=(

3

4

×

5

8

)×(

1

3

×

1

3

)=

5

96

，
所以ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5	6
P	1 6	35 144	58 144	13 96	5 96

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．