Question

10．在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b，求證：B≤$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用正弦定理及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式變形得到關(guān)系式，再利用正弦定理化簡(jiǎn)得到a+c=2b，利用余弦定理表示出cosB，把得出關(guān)系式代入并利用基本不等式求出cosB≥$\frac{1}{2}$，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得證．

解答 證明：在△ABC中，acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b，
整理得：$\frac{a（1+cosC）}{2}$+$\frac{c（1+cosA）}{2}$=$\frac{3}{2}$b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB，
即sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=sinA+sinC+sin（A+C）=sinA+sinC+sinB=3sinB，
整理得：sinA+sinC=2sinB，
再利用正弦定理化簡(jiǎn)得：a+c=2b，
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-\frac{（a+c）^{2}}{4}}{2ac}$=$\frac{3}{8}$•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
則B≤$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，余弦定理，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．