Question

對(duì)每一實(shí)數(shù)對(duì)(x, y)，函數(shù)f(t)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(－2)=－2，試求滿足f(a)=a的所有整數(shù)a=__________.

Answer 1

1或－2。

解析：令x=y=0得f(0)=－1；令x=y=－1，由f(－2)=－2得，f(－1)=－2，

又令x=1, y=－1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2①，所以f(y+1)－f(y)=y+2，即y為正整數(shù)時(shí)，f(y+1)－f(y)>0，由f(1)=1可知對(duì)一切正整數(shù)y，f(y)>0，因此y∈N^*時(shí)，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即對(duì)一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t，由①得f(3)=－1, f(4)=1。

下面證明：當(dāng)整數(shù)t≤－4時(shí)，f(t)>0，因t≤－4，故－(t+2)>0，由①得：f(t)－f(t+1)=－(t+2)>0，

    即f(－5)－f(－4)>0，f(－6)－f(－5)>0，……，f(t+1)－f(t+2)>0，f(t)－f(t+1)>0

    相加得：f(t)－f(－4)>0，因?yàn)椋簍≤4，故f(t)>t。綜上所述：滿足f(t)=t的整數(shù)只有t=1或t=2。