Question

設函數(shù)f(x)=

x2-(4a+1)x-8a+4，x＜1 logax，x≥1

（1）若函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）當a=2時，令函數(shù)g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1）（3），求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）若函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，則f（x）=log_ax（x≥1）的底數(shù)0＜a＜1，f（x）=x²-（4a+1）x-8a+4（x＜1）的對稱軸x=

4a+1

2

≥1．
（2）將g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1）化為g（x）=log2[(2+1x)+

4

2x+1

+4]，利用基本不等式即可解決．

解答：解：（1）若函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，則：

4a+1 2 ≥1 0＜a＜1 12-(4a+1)×1-8a+4≥loga1

…（5）
解得

1

4

≤a≤

1

3

，故實數(shù)a的取值范圍是[

1

4

，

1

3

]…（6）
（2）g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1）=2log2(2x+3)-log2(2x+1)=log2

(2x+3)2

2x+1

…（8）
=log2

(2x+1)2+4(2x+1)+4

2x+1

=log2[(2+1x)+

4

2x+1

+4]，
∵（2^x+1）+

4

2x+1

+4≥2

(2x+1)• 4 2x+1

+4=8，當且僅當2^x+1=

4

2x+1

，即2^x+1=2，x=0時“=“成立，
則函數(shù)g（x）≥log₂8=3，故函數(shù)g（x）的最小值為3…（12）

點評：本題考查基本不等式與函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，難點在于（1）的題意的理解與不等式組的構建，屬于中檔題．