Question

從到這個(gè)自然數(shù)中任取個(gè)，則任意兩個(gè)數(shù)都不相鄰的取法有多少種？

Answer 1

35

解析:

假設(shè)取出的這個(gè)數(shù)由小到大分別是，再令

觀察這個(gè)數(shù)組成的數(shù)列： ，排列從小到大，且相鄰兩項(xiàng)至少相差

令，，，，

顯然，且，

因此不定方程的每一組不小于的正整數(shù)解對(duì)應(yīng)每一組在到中選取的個(gè)不相鄰數(shù)，令，方程為

，是不小于1的整數(shù)，下面求該方程組解的組數(shù)

由隔板法可知該方程組解的組數(shù)為，從而原題的取法有種