Question

4．在平面五邊形ABCDE中，已知∠A=120°，∠B=90°，∠C=120°，∠E=90°，AB=3，AE=3，當(dāng)五邊形ABCDE的面積$S∈[6\sqrt{3}，9\sqrt{3}）$時(shí)，則BC的取值范圍為[$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 連接AB，可判斷，△ABE是個(gè)等腰三角形，四邊形BCDE是等腰梯形，
設(shè)BC=x，則S_BCDE=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}x$
由S_BCDE∈[$\frac{15}{4}\sqrt{3}$，$\frac{27}{4}\sqrt{3}$），即可得15≤（6$\sqrt{3}$-x）x＜27，解得$\sqrt{3}$≤x$＜3\sqrt{3}$．

解答 解：如圖，連接AB，
∵∠A=120°，∠B=90°，∠C=120°，∠E=90°，AB=3，AE=3，
∴△ABE是個(gè)等腰三角形，∠D=120°
S_△ABE=$\frac{1}{2}×3×3×sin12{0}^{0}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，BE=2AB×sin30°=3$\sqrt{3}$，
在等腰梯形BCDE中，∠C=∠D=120°，∠CBE=∠DEB=60°，設(shè)BC=x，
則CD=3$\sqrt{3}$-2BC×cos60°=3$\sqrt{3}-x$，
S_BCDE=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}x$
當(dāng)五邊形ABCDE的面積$S∈[6\sqrt{3}，9\sqrt{3}）$時(shí)，S_BCDE∈[$\frac{15}{4}\sqrt{3}$，$\frac{27}{4}\sqrt{3}$）
即15≤（6$\sqrt{3}$-x）x＜27，解得$\sqrt{3}$≤x$＜3\sqrt{3}$
故答案為：[$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形、梯形的面積計(jì)算，考查了函數(shù)的思想，屬于中檔題．