Question

18．已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1，2）在拋物線上．
（1）寫出該拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)P作拋物線的兩條弦PD、PE，且PD、PE的斜率k₁、k₂滿足k₁•k₂=2，求證：動(dòng)直線DE過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用待定系數(shù)法，設(shè)拋物線方程，代入求解，即可得到所求方程；
（2）設(shè)D（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），E（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$．y₂），運(yùn)用直線的斜率公式和設(shè)DE：x=my+n，代入拋物線方程y²=4x，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得n=2m-1，代入直線方程，再令x=-1，可得y=-2，即有定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 （1）解：設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
由P（1，2）在拋物線上，可得4=2p，
解得p=2，即有拋物線方程為y²=4x；
（2）證明：設(shè)D（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），E（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$．y₂），
則k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1}$•$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$•$\frac{4}{{y}_{2}+2}$=2，
即有y₁y₂+2（y₁+y₂）=4．
設(shè)DE：x=my+n，代入拋物線方程y²=4x，
可得y²-4my-4n=0，
即有y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n，
即有-4n+8m=4，即為n=2m-1，
代入直線x=my+n，可得x+1=m（y+2），
令x=-1，可得y=-2．
則動(dòng)直線DE過定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)直線的斜率公式和直線恒過定點(diǎn)的求法，屬于中檔題．