Question

選修4﹣2：矩陣與變換

給定矩陣A=，B=．

（1）求A的特征值λ1，λ2及對(duì)應(yīng)特征向量α1，α2，

（2）求A4B．

 

Answer 1

（1）當(dāng)λ1=2時(shí)，由=2，得A屬于特征值2的特征向量α1=

當(dāng)λ2=3時(shí)，由=3，得A屬于特征值3的特征向量α2=

（2）

【解析】

試題分析：（1）由題意已知矩陣A=，將其代入公式|λE﹣A|=0，即可求出特征值λ1，λ2，然后解方程求出對(duì)應(yīng)特征向量α1，α2；

（2）將矩陣B用征向量α1，α2，表示出來(lái)，然后再代入A4B進(jìn)行計(jì)算；

【解析】
（1）設(shè)A的一個(gè)特征值為λ，

∵|λE﹣A|=0，

∴由題意知：=0

∴（λ﹣2）（λ﹣3）=0，

λ1=2，λ2=3

當(dāng)λ1=2時(shí)，由=2，得A屬于特征值2的特征向量α1=

當(dāng)λ2=3時(shí)，由=3，得A屬于特征值3的特征向量α2=

（2）由于B==+=α1+α2

故A4B=A4（α1+α2）=（24α1）+（34α2）

=16α1+81α2=+=