Question

11．已知空間向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{p}$，若存在實(shí)數(shù)組（x₁，y₁，z₁）和（x₂，y₂，z₂），滿足$\overrightarrow{p}$=x₁$\overrightarrow{a}$+y₁$\overrightarrow$+z₁$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{p}$=x₂$\overrightarrow{a}$+y₂$\overrightarrow$+z₂$\overrightarrow{c}$，且x₁≠x₂．試證明向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共面．

Answer 1

分析 由已知可得：$（{x}_{1}-{x}_{2}）\overrightarrow{a}$=$（{y}_{2}-{y}_{1}）\overrightarrow$+$（{z}_{2}-{z}_{1}）\overrightarrow{c}$，由于x₁≠x₂，可得$\overrightarrow{a}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$\overrightarrow$+$\frac{{z}_{2}-{z}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$\overrightarrow{c}$，即可證明．

解答 證明：∵存在實(shí)數(shù)組（x₁，y₁，z₁）和（x₂，y₂，z₂），滿足$\overrightarrow{p}$=x₁$\overrightarrow{a}$+y₁$\overrightarrow$+z₁$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{p}$=x₂$\overrightarrow{a}$+y₂$\overrightarrow$+z₂$\overrightarrow{c}$，
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）\overrightarrow{a}$=$（{y}_{2}-{y}_{1}）\overrightarrow$+$（{z}_{2}-{z}_{1}）\overrightarrow{c}$，
∵x₁≠x₂，
∴$\overrightarrow{a}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$\overrightarrow$+$\frac{{z}_{2}-{z}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$\overrightarrow{c}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共面．

點(diǎn)評 本題考查了向量的線性運(yùn)算、向量共面定理，考查了推理能力、計(jì)算能力，屬于中檔題．