Question

已知函數(shù)f（x）=x²+x-ln（x+a）+3b在x=0處取得極值0．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（II）若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
（III）證明：對任意的正整數(shù)n＞l，不等式都成立．

Answer 1

解：（I）由已知得f′（x）=2x+1-，
∵在x=0處取得極值0，∴f′（0）=0，
f′（0）=0，
解得：a=1，b=0．
（II）由（I）知f（x）=x²+x-ln（1+x）．
則方程即x²+x-ln（1+x）-=0，
令H（x）=x²+x-ln（1+x）-，
則方程H（x）=0在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，
∵H′（x）=2x--=，
∴當x∈（0，1）時，H′（x）＜0，故H（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
當x∈（1，2）時，H′（x）＞0，故H（x）在（1，2）上是增函數(shù)；
從而有：，
∴--ln2＜m≤1-ln3．
（III）由（I）知f（x）=x²+x-ln（1+x）的定義域為（-1，+∞），
且f′（x）=，
當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，故H（x）在（-1，0）上是減函數(shù)；
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，故H（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
∴f（0）為f（x）在（-1，+∞）上的最小值，
∴f（x）≥f（0）=0，
故x²+x≥ln（1+x），其中當x=0時等號成立，
對任意正整數(shù)n，取x=，得，
∴，
從而有：，分別取n=2，3，…，n，得到：
=ln
故成立．
分析：（I）由已知函數(shù)求導(dǎo)得f′（x）根據(jù)在x=0處取得極值0列出方程即可解得a，b．
（II）由（I）知f（x）=x²+x-ln（1+x）．將方程轉(zhuǎn)化x²+x-ln（1+x）-=0，令H（x）=x²+x-ln（1+x）-，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而求出m的取值范圍．
（III）由（I）知f（x）=x²+x-ln（1+x）的定義域為（-1，+∞），且f′（x）=，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系研究其單調(diào)性和最值得出x²+x≥ln（1+x），進而有對任意正整數(shù)n，取x=，得到：，最后分別取n=2，3，…，n，得到n-1個不等關(guān)系，利用裂項求和法即可證得結(jié)論．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)的合理運用，恰當?shù)乩�用裂項求和法進行解題．